Примеры задач оптимизации, связанных с фундаментальными понятиями теории связи

Примеры задач оптимизации, связанных с фундаментальными понятиями теории связи.

Приводимые ниже две задачи оптимизации типичны; такого вида проблемы часто возникают при разработке новых систем и устройств связи. Первая из них связана с вопросом о наиболее эффективном использовании заданного частотного диапазона

при наличии шума с неравномерным спектром; вторая -с выбором формы импульсного сигнала, обладающего мини­мально возможной полосой частот и потому наиболее адекват­ного работе по полосно-ограниченному каналу связи. Обе эти задачи имеют самостоятельный интерес; вместе с тем они могут рассматриваться как достаточно простые упражнения по практическому применению вариационного исчисления.

Экстремальная задача, связанная с пропускной способностью

канала связи [24]

Максимальное количество информации, которое может быть передано за единицу времени по каналу связи с полосой частот f1<f<f2 при сколь угодно малой вероятности ошибки, определяется (согласно К. Шеннону) формулой

(3.17)

где s(f) и n(f) — функции спектральной плотности мощности полезного сигнала и шума соответственно [24, 25].

Если спектральные плотности мощности сигнала и шума являются частотно-независимыми в полосе [f1, f2), то получа­ется еще более известное выражение

где полная мощность сигнала;

(3.18)

— полная мощность шума.

Поставим задачу об отыскании спектра плотности мощности полезного сигнала s{f), при котором (при фиксированной полной мощности сигнала РС = Р и заданной спектральной плотности мощности шума n(f) скорость передачи ин­формации была бы максимальной. Таким образом, максимум функционала

(3.19)

При дополнительном условии

(3.20)

Используя терминологию предыдущего раздела, можно говорить что поставленная задача является изопериметрической со свободными концами, причем подынтегральные выражения в (3.19) и (3.20) не содержат функции s'(f).

Составив в соответствии с методом множителей Лагранжа вспомогательный функционал типа

(3.21)

выпишем для него уравнение Эйлера

откуда

(3.22)

Подставляя (3.22) в (3.20) и учитывая обозначение (3.18),

находим значение

Окончательно оптимальная форма спектра плотности мощ­ности сигнала определяется из выражения

(3.23)

Как видно, оптимальный спектр плотности мощности сигнала дополняет спектр плотности мощности шума до константы. Другими словами, энергию передатчика целесообразно распреде­лять в рабочем диапазоне частот неравномерно, направляя ее в основном в те участки, где мощность шума мала.

Этот вывод представляет несомненный практический инте­рес, однако он, может быть, сделан поспешно, ведь не доказано, что на экстремали (3.23) действительно достигается минимум. Впрочем, из замечания (3.4) о функционалах, не содержащих производной неизвестной функции (см. § 3.3), немедленно вытекает обоснование того факта, что на функции (3.22) в самом деле реализуется экстремум функционала (3.21), а вместе с ним и функционала (3.19) при условии (3.20). Этот экстремум может быть только максимумом, ибо, при­ближая s(f) в произвольно малом, но конечном подынтервале интервала (f1,f2) к функции n(f), взятой с обратным знаком (s(f) -n(f)), можно сделать значение функционала (3.19) меньшим любого наперед заданного числа.

В связи с записью приближенного равенства (s(f) -n(f)), целесообразно напомнить, что по физическому смыслу функции s(f) и n(f) неотрицательны. Решая поставленную задачу формально, мы нигде не вводили условия s(f)≥ 0, поэтому формула (3.23) действительно дает решение поставленной задачи с учетом физических ограничений, если во всех точках интервала (f1,f2) выполняется неравенство

(3.24)

Однако неравенство (3.24) может оказаться нарушенным: это обстоятельство сигнализирует о том, что математическая задача максимизации пропускной способности канала R[s(f)] была поставлена некорректно и, чтобы исправить положение, следует к условию (3.20) присоединить условие

S(f)>0. (3.25)

На решениях задач подобного типа мы останавливаться не будем, хотя описанным в [3] методом односторонней вариации успешно решают и такие задачи.

Задача об отыскании импульса с минимальной эффективной

шириной спектра

Как правило, передача информации по каналам связи осуществляется в строго ограниченном частотном диапазоне: вне этого диапазона так называемые «внеполосные» излучения не должны превышать некоторую заданную существующими нормами величину. При передаче данных занимаемая полоса частот определяется во многом формой сигнала-переносчика, поэтому представляет существенный интерес отыскание формы сигналов конечной продолжительности, обладающих мини­мально возможной полосой частот [15].

Сказанное, однако, нуждается в некотором разъяснении. Обозначим интересующий нас сигнал-переносчик длительности Т через y(t),0≤t≤T Тогда его спектр

(3.26)

Преобразование Фурье сигнала конечной продолжитель­ности (3.26) определяет спектр Y(ω), который является функцией комплексного

переменного ω =, аналитической на всей плоскости (такие функции называются целыми).

Известно, что целые функции могут обращаться в 0 лишь в изолированных точках и никогда на множествах точек, у которых, как говорят математики, «мера больше нуля». Примером таких множеств могут служить отрезок действи­тельной или мнимой оси комплексной плоскости, круг или совокупность фигур на этой плоскости, действительная полуось

0

1	2	3