Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени

В идеальном случае ошибка должна быть равна нулю при всех значениях m, за исключением m=0, однако на практике при использовании конечной записи данных эта ошибка не будет равна нулю, поэтому оценки для CC-параметров должны определятся посредством минимизации дисперсии квадрата ошибки:

Из структуры уравнения для оценок параметров скользящего среднего видно, что эти оценки можно найти, решив соответствующие нормальные уравнения (здесь используется либо «Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера», либо

«Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов»)  

Общая процедура раздельного оценивания авторегрессионных параметров и параметров скользящего среднего заключается в следующем. Этап первый - определение авторегрессионных параметров по исходным данным, после этого исходную последовательность данных необходимо подвергнуть фильтрации для получения временного ряда приближенно соответствующего некоторому СС-процессу (этап второй). Этот фильтр имеет системную функцию вида :

, где - оценки

авторегрессионных параметров, определенные с помощью метода наименьших квадратов. Системная функция процесса авторегресии-скользящего среднего равна , поэтому

 Таким образом, пропуская запись измеренных данных через фильтр с системной функцией , получаем на его выходе аппроксимирующий процесс скользящего среднего. Этап третий : для оценивания СС-параметров применяется процедура, описанная в начале этого раздела. Оценка спектральной плотности мощности АРСС-процесса имеет вид :

, где

- оценка автокорреляции, полученная по фильтрованной последовательности

Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.

.

1.6. Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии.

Оценка спектральной плотности мощности по методу минимума дисперсии не является 

истинной функцией СПМ, поскольку площадь под графиком МД-оценки не характеризует полную мощность измеряемого процесса. Обратное преобразование Фурье, соответствующее МД-оценке, также не совпадает с автокорреляционной последовательностью. Таким образом, МД-оценку можно считать спектральной оценкой в том смысле, что она описывает относительные интенсивности компонент частотного спектра, но не является  оценкой истинной СПМ. Минимальная дисперсия - это характеристика, которая более информативна вблизи начала координат оценки. Она получается посредством минимизации дисперсии процесса на выходе узкополосного фильтра, частотная характеристика которого адаптируется к спектральным компонентам входного процесса на каждой представляющей интерес частоте.

Рассмотрим фильтр с p+1 коэффициентами . Выход этого фильтра, соответствующий входу , определяется сверткой:

Дисперсия на выходе рассматриваемого фильтра определяется выражением :

Коэффициенты фильтра необходимо выбирать таким образом, чтобы на частоте  частотная характеристика этого фильтра имела единичный коэффициент усиления. Это ограничение можно записать следующим образом:

, где

Отсюда следует, что синусоида с частотой , поданная на вход такого фильтра, пройдет без искажений. Для режекции компонент спектра, удаленных от частоты , необходимо минимизировать дисперсию на выходе рассматриваемого фильтра при последнем ограничении. То есть рассматривается задача условной минимизации:

Несложно показать, что при таком ограничении решение по методу минимума дисперсии для коэффициентов фильтра будет удовлетворять уравнению:

Само значение дисперсии:

Отсюда получается выражение для спектральной оценки минимальной дисперсии:

Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.

1.7. Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений.

1.7.1. Введение

Ключевой операцией в методах, основанных на анализе собственных значений, является разделение информации, содержащейся в автокорреляционной матрице или матрице данных, на два векторных подпространства - подпространство сигнала и подпространство шума. В этих подпространствах можно определять различные функции от векторов сигнала и шума для получения оценок частоты. Однако эти оценки не сохраняют мощность анализируемого процесса и, следовательно, не являются оценками истинной СПМ. Далее будет рассмотрен метод классификации множественных сигналов.

Основная формула практически всех методов  оценивания частоты, основанных на анализе собственных значений имеет следующий вид:

, здесь

- собственные значения автокорреляционной матрицы, упорядоченные по степени их убывания; главные собственные вектора  (), соответствующие собственным значениям .На собственные векторы   натянуто подпространство шума матрицы и всем им соответствует одно и то же собственное значение . На главные собственные векторы  натянуто подпространство сигнала матрицы .

Разложение автокорреляционной матрицы на собственные значения можно двумя способами использовать для получения спектральных оценок или, точнее говоря, улучшенных процедур оценок частоты. Сохранение одной лишь информации, соответствующей собственным векторам пространства сигнала, то есть формирование для матриц аппроксимации пониженного порядка, эффективно способствует увеличению отношения сигнал/шум, поскольку устраняет вклад мощности компонент подпространства шума. Этот факт лежит в основе процедур оценок частоты главных компонент (подпространства сигнала). Свойство инвариантных прямых подпространств (подпространств шума и сигнала) положено в основу процедур оценок частоты в подпространстве шума.

1.7.2.Процедуры оценки частоты в пространстве сигнала.

1.7.3.Оценки частоты в пространстве шума.

Глава 2. Экспериментальный анализ алгоритмов спектрального анализа.

В данной работе математическое моделирование и вычислительные эксперименты преследовали следующие задачи:

1.) Провести сравнительный анализ численных методов спектрального анализа на различных типах тестовых сигналах.

2.) Выявить особенности каждого из методов и на их основе сделать вывод о целесообразности применения того или иного алгоритма в следующих условиях вычислительного эксперимента:

2.0.) Тест-сигнал состоит из смеси комплексных синусоид и шумовых процессов (белых шумов, пропущенных через фильтры с частотными характеристиками типа приподнятого косинуса) (используем для проверки способности метода к сохранению «достоверности» формы спектра)

2.1.) Несколько комплексных синусоид, присутствующие в анализируемом сигнале,  имеют близкие частоты (этот тип тестовых сигналов используем для получения предельной разрешающей способности по частоте)

2.2.) В сигнале присутствуют слабые синусоидальные составляющие на фоне сильных шумовых процессов (анализируем способность спектральных оценок обеспечивать обнаружение слабых компонент сигнала).

2.3.) Проводим серию испытаний с одним методом и формируем при этом различные реализации процесса (здесь анализируем качество оценки СПМ, рассматриваемое  как функция дисперсии оценки, зависящая от частоты; меньшим значениям функции соответствует лучшая оценка на заданной частоте). Здесь же вводится в рассмотрение равномерный критерий оценки качества получаемых оценок СПМ и на основе его делается вывод о наилучшем методе в рамках своего класса и, вообще, о лучшем из всех исследованных в рамках данной работы.

2.4.) Для вычислительных схем функционирующих в реальном масштабе времени проводим серию экспериментов, направленных на выявление влияния   значений параметров на структурную устойчивость алгоритма.

2.5.) Серия экспериментов, направленных на решение вопроса о  выборе значений параметров в параметрических методах оценки СПМ (выбор порядка в авторегрессионном  методе и методе авторегрессии-скользящего среднего, а также порядок модели линейного предсказания в ковариационном методе; шаг адаптации в адаптивном авторегрессионном алгоритме; действительный весовой множитель в рекурсивном алгоритме наименьших квадратов; количество главных собственных векторов, отвечающих подпространству сигнала в методе, основанном на собственных значениях; тип окна в классических методах спектрального анализа).

Сохранение «достоверности» формы спектра - одно из свойств, которое присуще практически всем исследованным методам. Однако меру «достоверности» сложно определить аналитически и затем количественно для каждого из методов, поэтому «достоверность» относится к числу субъективных критериев качества получаемых оценок и основным подходом к сравнению алгоритмов является визуальное сравнение получаемых оценок с истинным априорно известным спектром тест-сигнала. Результаты сравнения полученных каждым из исследованных методов оценок приведены в приложении C.

Максимально допустимое разрешение оценки СПМ для всех рассмотренных методов приведены в приложении D. Как и следовало ожидать наилучшими в смысле спектрального разрешения являются альтернативные неклассические методы. Основной недостаток классических методов заключается в искажающем воздействии какого бы то ни было взвешивающего окна. А псевдоусреднение  по ансамблю за счет сегментации данных приводит к еще более худшему разрешению (приложение D график N). От этого недостатка свободны все остальные взятые в рассмотрение методы. Однако в случае авторегрессионных методов увеличение порядка модели наряду с улучшением разрешающей способности приводит к эффекту появления ложного спектрального пика или к расщеплению спектральной линии (что продемонстрировано на графике N приложения D). Оценки по методу минимума дисперсии и оценки, полученные авторегрессионными методам, связаны некоторыми соотношениями, поэтому эти же эффекты присутствуют и в МД-оценках. В случае алгоритмов, основанных на сингулярном разложении матрицы данных, значительные ложные пики также имеют место при увеличении порядка модели.    

Практически все методы позволяют экспериментально обнаружить слабые синусоидальные составляющие. В таблице приложения Е приведены максимально допустимое соотношение сигнал/шум для всех методов, при котором еще возможно обнаружить составляющие сигнала, а также графики, иллюстрирующие результаты исследования.

Приложение F включает в себя получение и исследование дисперсии оценок СПМ как функции частоты.

Выбор правильных параметров в методах, функционирующих в реальном масштабе времени сопряжен со значительными трудностями. С одной стороны, если рассматривать градиентный адаптивный авторегрессионный метод, выбор большего параметра адаптации приводит к улучшению разрешающей способности и к увеличению «достоверности» спектра, с другой стороны это приводит к возрастанию структурной неустойчивости всей вычислительной схемы, а на больших порядках модели, вообще, к разрушению алгоритма. В эксперименте с аудио сигналом для каждого представления отсчетов (под представлением понимается следующий набор установок : частота дискретизации из диапазона 8 Кгц. - 44 Кгц., количество каналов - 1 (моно)/ 2(стерео), количество битов на отсчет 8 бит/16 бит ) и для каждого набора параметров схемы, осуществляющей сбор данных в реальном масштабе времени (количество (значения из диапазона : 3,...,128) и длина буферных областей задержек данных на входе и выходе (значения из диапазона : 256,...,16384 отчета)) было выбрано компромиссное решение. Результаты приведены в приложении G.   

Поскольку наилучшее значение порядка фильтра в авторегрессионной модели, как правило, не известно, на практике приходится испытывать несколько порядков моделей. Базируясь на этом, вводят тот или иной критерий ошибки, по которому затем определяем требуемый порядок модели. Если порядок модели выбран слишком  малым, получаются сильно сглаженные спектральные оценки, если излишне большим - увеличивается разрешение, но в оценке появляются ложные спектральные пики. Таким образом, применительно к авторегрессионному спектральному оцениванию  выбор порядка моделей эквивалентен компромиссу между разрешением и величиной дисперсии для классических методов спектрального оценивания. Очевидно, что следует увеличивать порядок АР-модели до тех пор, пока вычисляемая ошибка предсказания не достигнет минимума. Однако во всех исследованных методах оценка дисперсии монотонно уменьшается с увеличением порядка модели. Следовательно, одной дисперсии обычно не достаточно для того, чтобы определить момент окончания процедуры изменения порядка.

Для выбора порядка АР-модели предложено много различных критериев - своего рода целевых функций. Рассмотрим некоторые из них. Первый критерий называется окончательная ошибка предсказания(ООП). Согласно этому критерию, выбор порядка осуществляется таким образом, чтобы минимизировать среднюю дисперсию ошибки на каждом шагу предсказания.

, где   

N - число отсчетов данных, p- порядок АР-процесса и  - оценочное значение дисперсии белого шума (которая будет использоваться в качестве ошибки линейного предсказания).Выбирается такое значение порядка, при котором величина ООП минимальна. Однако использование этого и последующих критериев дает отличные результаты только  для идеальных авторегрессионных процессов, а в случае реальных данных результат оказывается сильно заниженным.

Вторым критерием, основанным на методике максимального правдоподобия является информационный критерий Акаике(он представляет исключительно теоретический интерес, а на практике используется как нижняя граница порядка модели)  

1	2	3	4	5	6