Студентам > Рефераты > Вычислительные машины и системы
Вычислительные машины и системыСтраница: 1/12
ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР
ЛЕКЦИЯ N 1
2ОСНОВЫ МАШИННОЙ АРИФМЕТИКИ
2Системы счисления и способы перевода
чисел
2из одной системы в другую.
Системой счисления называют систему приемов и
правил, позво-
ляющих устанавливать взаимно-однозначное соответствие
между любым
числом и его представлением в виде совокупности
конечного числа
символов. Множество символов, используемых для такого
представле-
ния, называют цифрами.
В зависимости от способа изображения чисел с
помощью цифр
системы счисления делятся на 1позиционные 0 и
1непозиционные 0.
В 1непозиционных 0 системах любое число
определяется как неко-
торая функция от численных значений совокупности цифр,
представ-
ляющих это число. Цифры в непозиционных системах
счисления соот-
ветствуют некоторым фиксированным числам. Пример
непозиционной
системы - римская система счисления. В вычислительной
технике не-
позиционные системы не применяются.
Систему счисления называют
1позиционной 0, если одна и та же
цифра может принимать различные численные значения в
зависимости
от номера разряда этой цифры в совокупности цифр,
представляющих
заданное число. Пример такой системы - арабская
десятичная систе-
ма счисления.
В позиционной системе счисления любое число
записывается в
виде последовательности цифр:
A = 7+ 0
a 4m-1 0 a 4m-2 0 ... a 4k 0 ... a 40 0
, a 4-1 0 ... a 4-l 0 (I)
Позиции, пронумерованные
индексами k (-l < k < m-1) называ-
ются разрядами числа. Сумма m+l соответствует количеству
разрядов
числа (m - число разрядов целой части числа, l - дробной
части).
Каждая цифра a 4k 0 в записываемой
последовательности может при-
нимать одно из N возможных значений. Количество
различных цифр
(N), используемых для изображения чисел в позиционной
системе
счисления, называется основанием системы счисления.
Основание N
указывает, во сколько раз единица k+1 -го разряда больше
единицы
k -го разряда, а цифра a 4k 0 соответствует
количеству единиц k -го
разряда, содержащихся в числе.
Таким образом, число может быть представлено в виде
суммы:
(A) 4N 0 =
7+ 0(a 4m-1 0N 5m-1 0 +
a 4m-2 0N 5m-2 0 +...+ a 40 0 +
a 4-1 0N 5-1 0 +...+ a 4-l 0N 5-l 0)
(II)
Основание позиционной
системы счисления определяет ее назва-
ние. В вычислительной технике применяются двоичная,
восьмеричная,
десятичная и шестнадцатеричная системы. В дальнейшем,
чтобы явно
указать используемую систему счисления, будем заключать
число в
скобки и в индексе указывать основание системы счисления.
- 2 -
В двоичной системе счисления используются только
две цифры:
0 и 1. Любое двоичное число может быть представлено в
следующей
форме:
(A) 42 0 =
7+ 0(a 4m-1 02 5m-1 0 +
a 4m-2 02 5m-2 0 + ... + a 40 0 +
a 4-1 02 5-1 0 + ... + a 4-l 02 5-l 0)
Например, двоичное число
(10101,101) 42 0 =
1*2 54 0+0*2 53 0+1*2 52 0+0*2+1+1*2 5-1 0+0*2 5-2 0+1*2 5-3 0
= (21,625) 410
В восьмеричной системе счисления для записи чисел
использу-
ется восемь цифр (0,1,2,3,4,5,6,7), а в шестнадцатеричной
- шест-
надцать (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).
Таблица для перевода чисел из одной системы счисления в
другую.
──────────────┬──────────────────┬──────────────┬────────────────
Двоичные │ Восьмеричные │
Десятичные │ Шестнадцате-
числа │ числа │
числа │ ричные числа
──────────────┼──────────────────┼──────────────┼────────────────
0,0001 │ 0,04 │
0,0625 │ 0,1
0,001 │ 0,1 │
0,125 │ 0,2
0,01 │ 0,2 │
0,25 │ 0,4
0,1 │ 0,4 │ 0,5
│ 0.8
1 │ 1 │
1 │ 1
10 │ 2 │
2 │ 2
11 │ 3 │
3 │ 3
100 │ 4 │
4 │ 4
101 │ 5 │
5 │ 5
110 │ 6 │
6 │ 6
111 │ 7 │
7 │ 7
1000 │ 10 │
8 │ 8
1001 │ 11 │
9 │ 9
1010 │ 12 │
10 │ A
1011 │ 13 │
11 │ B
1100 │ 14 │
12 │ C
1101 │ 15 │ 13
│ D
1110 │ 16 │
14 │ E
1111 │ 17 │
15 │ F
10000 │ 20 │
16 │ 10
──────────────┴──────────────────┴──────────────┴────────────────
Для хранения и обработки данных в ЭВМ используется
двоичная
система, так как она требует наименьшего количества
аппаратуры по
сравнению с другими системами. Все остальные системы
счисления
применяются только для удобства пользователей.
В двоичной системе очень просто выполняются
арифметические и
логические операции над числами.
- 3 -
Таблица сложения:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Таблица умножения:
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1
Многоразрядные числа складываются, вычитаются,
умножаются и
делятся по тем же правилам, что и в десятичной системе
счисления.
Перевод числа из одной системы в другую выполняется
по уни-
версальному алгоритму, заключающемуся в последовательном
2делении
1целой 0 части числа и образующихся
1целых частных 0 на 2 основание 0 новой
системы счисления, записанное 2в исходной
0системе 2 0счисления, и в
последующем 2умножении 0 1дробной 0
части и 1дробных частей 0 получающихся
1произведений 0 на то же основание,
записанное 2в 0 2 исходной 0системе
счисления.
При переводе 1целой 0 части получающиеся
в процессе последова-
тельного деления остатки представляют цифры целой части
числа в
новой системе счисления, записанные цифрами исходной
системы
|