Квазистатический метод анализа случайных процессов в нелинейных системах

1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОДЫ АНАЛИЗА

В соответствии с классификацией преобразований cл. пр., рассмотрим детерминированные нелинейные инерционные преобразования. При таких преобразованиях ин­тересующий нас процесс на выходе нелинейной системы η(t) связан с входным процессом ξ(t) нелинейным дифференциальным уравнением. Вид этого уравнения определяется конкретной си­стемой или устройством.

В качестве примеров типовых нелинейных радиотехнических систем можно указать следующие: все автоколебательные системы (автогенераторы гармонических и импульсных колебаний), нели­нейные усилители и детекторы различных видов, модуляторы, разнообразные следящие системы (фазовая и частотная автопод­стройки, дальномеры, автомагическая регулировка усиления), триггеры и др. При этом следует различать два вида или класса моделей нелинейных систем: системы, представляющие собой разные комбинации нелинейных безынерционных устройств

Рис. 1. Пример нелинейной системы

и линейных звеньев и системы, описыва­емые нелинейными дифференциальными уравнениями.

Анализ моделей нелинейных систем первого вида по существу сводится к раздельному пересчету вероятностных характеристик сл. пр. через нелинейные безынерционные устройства и линейные системы; правила таких пересчетов были рассмотрены ранее.

Пусть, например, требуется вычислить корреляционную фун­кцию на выходе нелинейной системы (рис. 5.1), состоящей из двух нелинейных безынерционных устройств, между которыми включена линейная система с импульсной характеристикой h(t), при нулевых начальных условиях:

(1.1)

Отсюда видно, что для вычисления требуемой корреляционной функции необходимо знать двумерную п. в. процесса ξ(t) на выходе линейной системы. Если принять, что входной процесс ξ(t) гауссовский, то процесс η(t) на выходе первого нелинейного элемента будет негауссовским и задача определения двумерной п.в. pξ(ξ1, ξ2, t1, t2) может быть решена лишь приближенно. Приведенные рассуждения можно обобщить на нелиней­ные системы, описываемые функциональными рядами Вольтерра .

Встречаются трудности при анализе ел. пр. в нелинейных системах второго вида, описываемых нелинейными дифференци­альными уравнениями. Будем говорить, что система имеет порядок k, если она описывается дифференциальным уравнением k-го порядка. Применительно к нелинейной системе первого порядка нелинейное дифференциальное уравнение может, напри­мер, иметь вид

(1.2)

Вид функций f(•) и g(•) определяется параметрами рассмат­риваемой системы. Для детерминированной системы (преоб­разования) эти функции считаются детерминированными и извест-Если функции f и g нелинейны относительно η, то (2) eсть нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка.

В том случае, когда входное воздействие ξ(t) содержит белый шум п((), уравнение принято называть стохастическим диф­ференциальным уравнением. Если же ξ(t) содержит только кор­релированное воздействие (cл. пр. с конечным, не нулевым интервалом корреляции), то соответствующее дифференциальное уравнение будем называть флюктуационным дифференциальным уравнением, хотя в литературе встречаются и другие названия (уравнение Ланжевена, кинетическое уравнение}.

Формулировка задачи анализа остается прежней: предполагая известными параметры модели системы, т. е. конкретный вид уравнения (2) и необходимые вероятностные характеристики входного процесса (воздействия) ξ(t), требуется найти нужные вероятностные характеристики выходного процесса η(t). Те характеристики выходного процесса η(t), которые нужно нахо­дить, определяются физическим содержанием конкретной задачи. Обычно интересуются моментами (чаще всего м. о. и корреляци­онной функцией) выходного процесса η(t) или же п. в. (чаще одномерной и реже двумерной).

Известно, что характер решения нелинейного дифференци­ального уравнения зависит от его вида, формы внешнего воздействия и начальных условий, причем в общем случае невозможно записать решение в квадратурах. В этом состоит существенное отличие нелинейных инерционных преобразований ел. пр. от линейных, для которых выходной процесс выражается через входной с помощью интеграла свертки.

По этой же причине нелинейные инерционные преобразования принципиально отличаются от безынерционных преобразований и сводящихся к ним. При безынерционных (функциональных) преобразованиях ел. пр. известны сравнительно простые методы «пересчета» вероятностных характеристик (9). Для нелинейных инерционных преобразований не существует единого метода решения.

Метод решения нелинейных флюктуационных дифференциальных уравнений, в частности уравнения (2), определяется двумя фактора­ми: 1) интенсивностью случайного воздействия !;(/) и 2) отношением интервала корреляции tк. воздействия к характерной постоянной времени системы tс. При этом, говоря об интенсивности случайного воздействия, здесь имеем в виду не фактическую величину самого сл. пр. ξ(t) (например, величину его дисперсии), а вызываемый им в системе эффект (случайный разброс). Отметим, что если система сложная и характеризуется несколькими постоянными времени, то в качестве времени тс следует брать минимальное из них. Аналогично, ели внешнее случайное воздействие ξ(t) характеризуется нескольки­ми временами, то под tк следует понимать максимальное из них зависимости от указанных двух факторов можно указать следующие частные случаи и соответствующие методы их рассмотрения.

1. Случайное воздействие малой интенсивности. В данном случае независимо от соотношения tк и tс применим метод линеаризации. Он заключается в том, что сначала находится решение исходного нелинейного дифференциального уравнения в отсутствие малого случайного воздействия, а затем уравнение линеаризуется относительно малых случайных отклонений от невозмущенных значений и делается пренебрежение нелинейными членами, содержащими эти случайные отклонения. В результате для случайных отклонений получается линейное дифференциаль­ное уравнение. Методы преобразования cл. пр. линейными системами были рассмотрены ранее.

Метод линеаризации позволяет сравнительно просто вычис­лить м. о. и корреляционную функцию процесса η(t) в стаци­онарном и нестационарном состояниях. Однако при негауесовском возмущении ξ(t) весьма трудно (например, методом вычисления моментов) найти даже одномерную п. в. для η(t).

2. Случайное воздействие большой интенсивности. Здесь нет единого и универсального метода решения; выбор метода зависит от соотношения tк и tс.

a. Если tс>>tк и входное воздействие ξ(t) представляет собой гауссовский cл. пр, то применим хорошо разработанный аппарат марковских процессов. В частности, для анализа поведения динамических систем можно использовать известное уравнение ФПК, а задачи, связанные с достижением границ (срывом слежения и автозахватом), решать с помощью уравнения Пон-трягина. Данный случай характерен для многих следящих ра­диотехнических устройств. Метод марковских процессов даже в существенно нелинейных задачах в принципе позволяет находить непосредственно п. в. выходного процесса η(t). Сложность фак­тического получения решения для конкретной задачи существенно зависит от порядка дифференциального уравнения, описывающего поведение рассматриваемой системы, и вида начальных и гранич­ных условий.

1	2	3