Квазистатический метод анализа случайных процессов в нелинейных системах

К настоящему времени аналитическими и численными ме­тодами получено много важных и оригинальных результатов в основном для одномерных и двумерных нелинейных систем. Применительно к динамическим системам, описываемым диф­ференциальными уравнениями третьего и более высоких порядков, часто возникают трудности в получении точных и компактных аналитических и численных результатов. В подобных случаях, когда возникают затруднения, иногда можно продуктивно вос­пользоваться явлением нормализации ел. пр. на выходе инер­ционной системы. При этом заранее принимается, что п. в. выходного -процесса является нормальной, и затем тем или иным способом вычисляются ее определяющие параметры. В ча­стности, если дисперсия выходного процесса мала, то ее можно определять из линеаризованного уравнения, а м. о. из нелинейного уравнения. Кроме такого метода применяют также квазилинейный метод (часто называемый методом статистической линеаризации). При его применении предполагается заранее известной п. в. выходного процесса, и поэтому он часто фактически базируется на том же явлении нормализации.

b. При tс«tк можно ограничиться решением задачи в ква­зистатическом приближении. Оно характеризуется тем, что в пер­вом приближении делается пренебрежение временной производ­ной, например в уравнении (2). После этого задача сводится к нелинейному безынерционному преобразованию

(1.3)

Решив это уравнение относительно η(t), получим η(t) = F(t, ξ,(t)).

При квазистатическом приближении внешнее случайное воз­действие считается настолько медленно изменяющимся, что система с определенной деформацией безынерционно отслеживает его. В некоторых задачах при сведении инерционного нелинейного преобразования к безынерционному целесообразно воспользовать­ся методом осреднения Н. Н. Боголюбова.

в. Случай промежуточных времен корреляции (tс~t.к) является наиболее сложным при анализе. Ряд нелинейных систем при таком условии можно анализировать, используя функциональное представление Вольтерра нелинейных дифференциальных ура­внений2.

Отметим, что области применения перечисленных методов анализа принципиально не ограничиваются порядком нелинейного дифференциального уравнения. Однако с повышением порядка уравнения существенно возрастает трудоемкость вычислений.

В дальнейшем проиллюстрируем методику применения разных методов на конкретных радиотехнических примерах, рассмотрение которых представляет самостоятельный интерес.

2. КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Общие условия применения квазистатического метода и его сущность были кратко указаны выше. Получим этим методом конкретные результаты применительно к детектированию

Рис. 2. Упрощенная схема типового радиоприемника

Рис. 3. Схема амплитудного де­тектора

ставить в виде (7.42): случайных узкополосных процессов. Основными элементами типового радиоприемника являются УПЧ и детектор (рис.2). Обычно УПЧ представляет собой линейный уз­кополосный четырехполюсник. При воздействии на него широкопо­лосного гауссовского шума п({) (например, собственных шумов предыдущих каскадов) и полезного гармонического сигнала 5(0 вы­ходное напряжение можно пред-

(2.1)

Для простоты предполагается, что частота полезного сигнала совпадает с центральной частотой полосы пропускания УПЧ.

Случайное напряжение ξ(t) воздействует на детектор. Найдем характеристики случайного напряжения η(t) на выходе детектора. Проиллюстрируем методику применения квазистатистического метода на примере амплитудного детектора огибающей, схема которого изображена на рис.3.

Пусть нелинейный элемент Д (диод) имеет вольт-амперную характеристику i=g(v), v = ξ — η. Считая равным нулю внутреннее сопротивление генератора входного напряжения ξ(t) из очевидных соотношений

получим дифференциальное уравнение

(2.2)

Поскольку назначение любого детектора в радиоприемнике состоит в возможно лучшем выделении модулирующего напряже­ния, то он, во-первых, должен сглаживать радиочастотные колебания и, во-вторых, напряжение на цепи КС должно успевать «следить» за изменениями модулирующего напряжения (приме­нительно к амплитудному детектору следить за огибающей). Выполнение этих двух условий достигается тем, что параметры детектора должны удовлетворять двум неравенствам:

(2.3)

-интервал корреляции огибающей В(t).

Петектор для которого выполняются эти два неравенства, принято называть детектором огибающей. Другие случаи ис­пользования детектора, когда эти условия не выполняются, здесь не рассматриваются .

Выполнение условий (3) существенно упрощает задачу ис­следования процесса детектирования случайных сигналов, так сак при этом выходное напряжение η(t) почти безынерционно (квазистатически) зависит от огибающей В(t).

Проинтегрируем это уравнение за период Т0:

Подставив (1) в (2)' имеем

(2.4)

При выполнении первого условия (3) функция η(t) мало изменя­ется за период Т0. Поэтому разность η(t+T0) - η(t) почти не отличается от η(t)Т0. Медленно изменяющиеся величины под знаком интеграла можно принять приближенно постоянными, т. е. можно положить

и учитывать изменение только cos(wt' + Ψ). Поэтому (4) можно записать как

(2.5)

и это уравнение затруднительно решить в общем виде. Хотя

г и переходный процесс, рассмотрим в дальнейшем

щионарное состояние. Для стационарного состояния при

выполнении второго неравенства (3) можно ограничиться квазистатистическим ограничением

Т. е. в левой части уравнения (5) можно пренебречь производной. После этого получим уравнение

(2.6) дающее безынерционную зависимость выходного напряжения η(t) от огибающей В(t). Здесь при интегрировании по х величины В и г) принимаются постоянными.

Таким образом, при исследовании воздействия узкополосного сл. пр. на детектор огибающей в стационарном состоянии можно ограничиться квазистатическим приближением, т. е. вместо точ­ного дифференциального уравнения (2) можно ограничиться анализом приближенного функционального соотношения (6).

Для линейного детектора огибающей, имеющего характеристику

(2.7)

где R1— внутреннее сопротивление диода в открытом состоянии, из (о) получим

1	2	3