Расчет распределения примесей в кремнии

На основании полученных данных построим графики распределения примесей вдоль слитка кремния после зонной плавки (один проход расплавленной зоной).

1.3. Распределение примесей после диффузии.

Основой математического описания процессов диффузии являются два дифференциальных уравнения Фика (немецкий ученый A. Fick предложил их в 1855 г.). 

Первое уравнение (первый закон Фика)  записывается следующим образом:

J = - D grad N                                                 (7)

где J - плотность потока диффундирующего вещества, т.е. количество вещества, проходящего за единицу времени через единичную площадь поверхности, перпендикулярной направлению переноса вещества;

N - концентрация атомов примеси.

D - коэффициент диффузии.

Физический смысл этого уравнения - первопричиной диффузионного массопереноса вещества является градиент его концентрации. Скорость переноса пропорциональна градиенту концентрации, а в качестве коэффициента пропорциональности вводится коэффициент диффузии. Знак минус  в правой части (7) указывает на то, что диффузия происходит в направлении убывания концентрации. Другими словами, диффузия идет благодаря стремлению системы достичь физико-химического равновесия. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока химические потенциалы компонентов всей системы не станут равными. Уравнение (7) описывает стационарный (установившийся) процесс - процесс, параметры которого не зависят от времени.

В макроскопическом представлении коэффициент диффузии  определяет плотность потока вещества при единичном градиенте концентрации и является, таким образом, мерой скорости выравнивания градиента концентрации.  Размерность коэффициента диффузии - м2/с. В общем случае диффузия анизотропна и коэффициент диффузии - симметричный тензор второго ранга.

Согласно микроскопическому определению, компонента Dx коэффициента  диффузии D по координате x связана со среднеквадратичным смещением диффундирующих атомов по координате x  и интервалом времени Dt, в течение которого это смещение произошло соотношением

Когда концентрация вещества изменяется только в одном направлении (одномерная диффузия)  и при диффузии в изотропной среде (коэффициент диффузии - скаляр) первое уравнения Фика имеет следующий вид:

                                                           (8)

При простейшем анализе структур и в простейших моделях процессов легирования в технологии изготовления ИМС предполагаются именно такие условия диффузии.

Второе уравнение диффузии (второй закон Фика) получается путем сочетания первого закона и принципа сохранения вещества, согласно которому изменение концентрации вещества в данном объеме должно быть равно разности потоков этого вещества на входе в объем и выходе из него.

В общем случае второе уравнение диффузии имеет следующий вид

                                                       (9)

Для одномерной диффузии в изотропной среде уравнение (9)  можно записать

                                                              (10)

Второй закон Фика характеризует процесс изменения концентрации диффундирующей примеси во времени в различных точках среды и является математической моделью нестационарного (развивающегося) состояния системы (описывает период времени от начала процесса до установления стационарного состояния).

При постоянстве коэффициента диффузии D (независимости его от концентрации примеси) уравнение (10) упрощается

                                                                   (11)

Допущение о постоянстве коэффициента диффузии справедливо в большом количестве случаев, анализируемых в технологии ИМС.

Уравнения диффузии являются чисто феноменологическими, т.е. они не содержат никаких сведений о механизмах диффузии - о диффузионном процессе на атомном,  уровне. Кроме того, уравнения (7) - (11) не содержат информации о зарядовом состоянии диффундирующих частиц.

Процессы диффузии, используемые для изготовления интегральных структур, обычно анализируются с помощью частных решений уравнения (11) т.к., в отличие от (8), именно оно содержит важный параметр - время установления некоторого анализируемого состояния системы.  Основная цель решения уравнения - найти распределение примеси N(x,t) в полупроводнике после диффузии в течение определенного времени t при различных условиях осуществления процесса.

Общее решение уравнения (11) для бесконечного твердого тела при заданном в общем, виде начальном распределении примеси  N(x,0) = f(x)  может быть найдено методом разделения переменных. Оно имеет вид

 ,                               (12)

здесь x - текущая координата интегрирования.

Бесконечным в одномерном представлении называют тело, простирающееся от x=0 до x=- ¥  и до x=+ ¥.

Часто при поиске распределения концентрации примеси в полупроводнике необходимо решение уравнения (11) для полубесконечного твердого тела. Полубесконечным в одномерном представлении называют тело, простирающееся от x=0 до x=+ ¥.

Для этого случая выражение (12) может быть приведено к виду

       (13)

В выражении (13) знак плюс относится к ситуации, когда граница твердого тела (x=0) является непроницаемой для диффундирующего вещества, находящегося в области x>0, (отражающая граница), а знак минус - к случаю, когда на границе твердого тела в любой момент времени концентрация диффундирующего вещества, также находящегося в области x>0, равна нулю - связывающая граница.

Представленные решения позволяют находить  распределения примеси в твердом теле при любых начальных условиях. Решение конкретной задачи сводится к подстановке в (12) или (13) соответствующих ситуации начальных условий с последующими, как правило, очень громоздкими преобразованиями.

1.3.1  Распределение примеси при диффузии из полубесконечного пространства (диффузия из концентрационного порога)

Диффундирующая примесь (диффузант) поступает в полубесконечное тело через плоскость x=0 из второго полубесконечного тела (источника) с равномерным распределением примеси. Концентрация примеси в источнике - No. Полагается, что в принимающем диффузант теле нет рассматриваемой примеси.

Начальное распределение концентраций для этого случая задается в виде

N(x,0) = No   для  x<0

N(x,0) = 0     для  x>0

Решением уравнения (11) для этого случая является выражение

                        (14)

Второе слагаемое в квадратных скобках называют  интегралом ошибок Гаусса  или, иначе, функцией ошибок - error function и сокращенно обозначают erf (z). В соответствии с сокращением  это распределение называют erf - распределением.

                                                 (15)

В математике часто используют как самостоятельную и другую функцию

erfc z = 1- erf z                                             (16)

которая называется дополнением функции ошибок до единицы или дополнительной функцией ошибок - error function complement. Обе функции табулированы.

Таким образом, выражение (14) можно записать

                             (17)

Величина имеет размерность длины и носит название диффузионной длины или длины диффузии. Физический смысл этого параметра - среднее расстояние, которое преодолели диффундирующие частицы в направлении выравнивания градиента концентрации за время t.

Рассмотренное решение можно использовать как простейшую модель, представляющую распределение примеси в автоэпитаксиальной структуре. При этом, в качестве независимых источников  примеси выступает как подложка, так и эпитаксиальный слой. Процессы диффузии с каждой стороны рассматриваются в этом случае как независящие друг от друга, а реальное распределение примесей на границе раздела будет представлять собой сумму отдельных решений.        

1.3.2  Распределение примеси при диффузии из постоянного источника в полубесконечное тело.

Диффузант поступает в полубесконечное тело через плоскость x=0 из источника, обеспечивающего постоянную концентрацию примеси No на поверхности раздела твердое тело - источник в течение любого времени. Такой источник называют бесконечным или источником бесконечной мощности. Полагается, что в принимающем диффузант теле нет рассматриваемой примеси.

Начальное распределение концентраций  и граничные условия для этого случая задаются в виде

N(x,t) = No   для  x=0

N(x,0) = 0     для  x>0

Решением уравнения (16) для данных условий является выражение

                                             (18)

Если в объеме полупроводникового материала до диффузии имелась примесь противоположного типа по отношению к диффундирующей, эта примесь распределена по объему равномерно и её концентрация равна Nb, то в этом случае в полупроводнике образуется электронно-дырочный переход. Его положение (глубина залегания) xj определяется условием N(x,t)=Nb , откуда

                                                                                           (19)

и                                                                             (20)

здесь запись erfc-1  обозначает  аргумент z функции erfc.

При решении практических задач, связанных с анализом диффузионных процессов необходимо знать количество примеси Q, накопленной в твердом теле при диффузии в течение времени t. Эта величина определяется по формуле

                                                      (21)

где J(0,t) - поток диффузанта в объем через плоскость x=0

                 (22)

отсюда

                                                                (23)

Следует обратить внимание на возрастающее со временем значение накопленной в диффузионном слое примеси при диффузии с данными граничными условиями.

Рассмотренная модель диффузионного процесса с постоянным источником описывает процесс диффузионного легирования полупроводникового материала из газовой или паровой фазы. Этот процесс используется при создании сильно легированных диффузионных слоев (например, эмиттерных) с поверхностными концентрациями No близкими к значениям предельной твердой растворимости примеси в данном полупроводниковом материале.

Твердое тело можно считать полубесконечным ( или бесконечным) в том случае, если его размеры в направлении движения диффузанта много больше длины диффузии.

1.3.3 Распределение примеси при диффузии из слоя конечной толщины  (диффузия из ограниченного источника) в полубесконечное тело с отражающей границей.

Диффундирующая примесь поступает в полубесконечное тело из источника, который представляет собой примыкающий к границе тела слой толщиной h, примесь в котором распределена равномерно. Такой источник называют ограниченным. Концентрация примеси в источнике - No. Полагается, что в принимающем диффузант твердом теле нет рассматриваемой примеси.

При абсолютно непроницаемой для диффузанта (отражающей) границе поток примеси через поверхность x=0 должен обращаться в нуль при всех t ³0

         для t ³0                                   (24)

Начальное распределение концентраций для рассматриваемого случая задаётся в виде

N(x,0) = No   для 0£ x £ h

N(x,0) = 0     для  x>h

Граничным условием является, определяемое условием (24), постоянство количества примеси в источнике и полупроводнике

Для реализации начального распределения такого типа диффундирующая примесь должна быть введена в твердое тело до начала диффузии.

Решением уравнения (16) в данной ситуации является выражение

                              (25)

Здесь следует отметить, что erfс(-z) + erfс(z) º 2.

В отличие от диффузии из постоянного источника  при диффузии из слоя конечной толщины количество диффузанта ограничено значением Q=Noh. В процессе диффузии происходит только его перераспределение и, следовательно, уменьшение со временем концентрации примеси на поверхности твердого тела.

Примером диффузии примеси из слоя конечной толщины в полубесконечное тело с отражающей границей является диффузия в кремниевую пластину из эпитаксиального, имплантированного или диффузионного слоя и покрытую слоем двуокиси кремния SiO2 или нитрида кремния Si3N4. Границу пластины и пленки можно с большой долей правдоподобия принять отражающей, т.к. коэффициенты диффузии большинства примесей в кремнии на несколько порядков больше, чем в двуокиси кремния и нитриде. Однако, равномерность распределения примеси в источнике, особенно при его создании методом диффузии или имплантации - весьма грубое и вынужденное приближение.

1.3.4  Распределение примеси при диффузии из бесконечно тонкого слоя в полубесконечное тело с отражающей границей

Решение диффузионного уравнения при этих условиях находится из предыдущего при h® 0  и условии, что количество диффузанта в источнике Q=Noh.

                                         (26)

Приведенное выражение представляет собой Гауссово распределение.

Тонкий слой на поверхности полупроводниковой пластины является источником, который очень быстро истощается. Непрерывная диффузия в этом случае приводит к постоянному понижению поверхностной концентрации примеси в полупроводнике. Эту особенность данного процесса используют в полупроводниковой технологии для получения контролируемых значений низкой поверхностной концентрации примеси, например, для создания базовых областей кремниевых транзисторных структур дискретных приборов или ИМС.

На первом этапе процесса проводится кратковременная диффузия (при пониженных температурах) из постоянного источника, распределение примеси после которой описывается выражением (18). Значение No при этом велико и определяется либо пределом растворимости данной примеси в полупроводниковом материале, либо концентрацией примеси в стеклообразном слое на поверхности полупроводника. Этот этап часто называют загонкой. После окончания первого этапа пластины помещают в другую печь для последующей диффузии, обычно, при более высоких температурах. В этой печи нет источника примеси, а если он создается на первой стадии в виде стеклообразного слоя на поверхности пластин, его предварительно удаляют. Таким образом, тонкий слой, полученный на первом этапе, является источником перераспределяемой примеси при проведении второй стадии процесса. Для создания отражающей границы  второй этап (часто называемый разгонкой) проводят в окислительной атмосфере.  При этом на поверхности растет слой SiO2.

Существует заметное несоответствие между распределением примеси в источнике, сформированном при загонке, с декларируемым при выводе выражений (25) и (26) - ступенчатым. Это несоответствие должно отразиться  на точности описания реального распределения примеси после второй стадии  диффузии выражением (26). Не существует и объективного количественного критерия «тонкости» источника -  нет каких-либо признаков, согласно которым для представления результатов  данного процесса следует использовать выражение (26), а на (25) и наоборот.

При моделировании двухстадийной диффузии и анализе результатов процесса полагают, что выражение (26) достаточно точно соответствует реальному при условии, если величина произведения D1t1 для первого этапа процесса легирования значительно меньше, чем D2t2 для второго - . Это условие быстрой истощаемости источника. В этом случае, учитывая, что количество накопленной при первом этапе примеси определяется соотношением

из (26) получим

                                     (27)

Величины D2 и t2 относятся ко второй стадии диффузии.

В случае, если продолжительность второй стадии не очень велика по сравнению с первой, или, иными словами, D2t2 ³ D1t1 , предположение о том, что диффузионный слой, образовавшийся в результате загонки, будет вести себя как тонкий источник неверно. В этом случае решение диффузионного уравнения будет выглядеть следующим образом

                              (28)

где

                                       и      

Поверхностная концентрация примеси после второй стадии диффузии выражается при данных условиях соотношением

                                               (29)

Выражение (25) используется для представления распределения при условии, что D1t1 >D2t2    -  . При этом полагают, что .

1.4 Расчет распределения примеси после диффузионного легирования.

1.4.1 Диффузия из бесконечного источника примеси на поверхности пластины  и при температуре, соответствующей максимальной растворимости примеси в полупроводнике; время диффузии 30 мин.= 1800с.

Материал - кремний;

примесь - галлий.

Условия проведения диффузии соответствуют решению, представляемому уравнением (18).                         .

Температуру соответствующую максимальной растворимости галлия в кремнии, а так же и саму предельную растворимость найдем из графика предельной растворимости примеси в кремнии.

Nпред. раств.=N0=6×1019 см-3, Т=1523 К.

Коэффициент диффузии сурьмы при температуре диффузии найдем используя известное выражение в форме уравнения Аррениуса

,

где предэкспоненциальный множитель (постоянная диффузии) Do  и энергия активации диффузии DE - справочные величины.

k - постоянная Больцмана, T - температура процесса в Кельвинах.

Из [5]  для галлия Do =0,374 см2/с , DE = 3,41 эВ, при T = 1523 K                             D = 1,94 × 10-12 см2/с.

Заполняем расчетную таблицу, меняя расстояние от x поверхности с необходимой частотой, до значения при котором значение N(x) имеет порядок не более 1012. В первый столбец записываем выбранные значения x, во второй - . Затем находим значения erfc(z), воспользовавшись таблицей интеграла ошибок в [4], и вносим эти значения в третий столбец. После чего рассчитываем концентрации N(x), соответствующие каждому значению x и результаты записываем в четвертый столбец.

Таблица 4 - Результаты расчета распределения галлия в кремнии

1	2	3	4	5	6